La Ecuación que representa a una Circunferencia

La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que normalmente aparecen en nuestra vida cotidiana y desde los tiempos antiguos es utilizada. 

En la prehistoria, con la invención de la rueda se dio inicio a toda la tecnología de hoy en día, todo gracias a este invento, la rueda, y aunque sea indirectamente tenemos aplicaciones de la circunferencia. 

Casi para cualquier lugar a donde mires, encontrarás una circunferencia. 

Bueno en el deporte también se aprecia la aplicación de la circunferencia y quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse sería en los balones... pero no, si sólo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas geométricas y circunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol, las canchas de Básquetbol, los campos de Fútbol Americano y en muchas más.

 

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA 
DE CENTRO (h,k)

Se define entonces a la circunferencia en el plano cartesiano como el lugar geométrico o conjunto de pares ordenados (h,k) que cumplen con estar a la misma distancia (r) y en cualquier dirección respecto a otro punto llamado Centro de la circunferencia.

Siendo el centro de la circunferencia el punto C(h,k) y si el radio es r, podemos decir que la forma ordinaria de la ecuación que representa a cualquier punto que pertenece a esa circunferencia, tiene la forma:

(x – h)² + (y – k)² = r²

^{Ecuación en forma ordinaria de la circunferencia}

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA 
CON CENTRO EN EL ORIGEN (0,0)

De la ecuación ordinaria (x – h)² + (y – k)² = r² y considerando que el centro de una circunferencia esta en el punto (0,0), se puede reducir la llamada forma ordinaria de la circunferencia, sustituyendo el centro:

(x – h)² + (y – k)² = r²  

(x – 0)² + (y – 0)² = r²

(x )² + (y )² = r²

Que es la ecuación de cualquier circunferencia que tenga su centro en el origen y pase por un punto dado P(x,y).

Ejemplo 1

Una circunferencia con centro en el punto (2, -5) tiene un radio de 4. Halla su gráfica, ecuación y cuatro puntos que pertenezcan a esa circunferencia.

Solución:

Si la ecuación de una circunferencia de centro (h,k) y radio r es

(x – h)² + (y – k)² = r²

Al sustituir los datos tenemos:

(x – 2)² + (y – (-5))² = (4)²

(x – 2)² + (y + 5)² = 16 ...................Ecuación que se pide

Para localizar los 4 puntos que pertenecen a esa circunferencia:

Punto A) Se suma la longitud del radio a la coordenada h del centro (2, -5)

A(2 + 4, -5) ........... A(6, -5)

Punto B) Se suma la longitud del radio a la coordenada k del centro (2, - 5)

B(2, - 5 + 4)...........B(2, -1)

Punto C) Se resta la longitud del radio a la coordenada h del centro (2, -5)

C(2 - 4, -5)........... C(-2, -5)

Punto D) Se resta la longitud del radio a la coordenada k del centro (2, -5)

D(2, - 5 - 4)........... C(2, -9)